HISTORIA
El concepto de conjunto como objeto abstracto no comenzó a emplearse en matemáticas hasta el siglo XIX, a medida que se despejaban las dudas sobre la noción de infinito. Los trabajos de Bernard Bolzano y Bernhard Riemann ya contenían ideas relacionadas con una visión conjuntista de la matemática. Las contribuciones de Richard Dedekind al álgebra estaban formuladas en términos claramente conjuntistas, que aún prevalecen en la matemática moderna: relaciones de equivalencia, particiones, homomorfismos, ., y él mismo explicitó las hipótesis y operaciones relativas a conjuntos que necesitó en su trabajo.
La teoría de conjuntos como disciplina independiente se atribuye usualmente a Georg Cantor. Comenzando con sus investigaciones sobre conjuntos numéricos, desarrolló un estudio sobre los conjuntos infinitos y sus propiedades. La influencia de Dedekind y Cantor empezó a ser determinante a finales del siglo XIX, en el proceso de «axiomatización» de la matemática, en el que todos los objetos matemáticos, como los números, las funciones y las diversas estructuras, fueron construidos con base en los conjuntos.
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REPRESENTACIÓN
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DETERMINACIÓN
Un conjunto se puede determinar de dos maneras: Por extensión y por comprensión.
Determinación de un Conjunto por Extensión
Un conjunto está determinado por extensión cuando se escriben uno a uno todos sus elementos.
Ejm. - El conjunto de los números naturales menores que 9.
A=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Determinación de un Conjunto por Comprensión
Un conjunto está determinado por comprensión cuando solamente se mensiona una característica común de todos los elementos.
Ejm. - El conjunto formado por las letras vocales del abecedario.
http://relacion-conjuntos.blogspot.com.co/2008/04/determinacin-de-conjuntos.html
CLASIFICACIÓN
Conjunto universal o referencia
El conjunto universal o referencia, es el formado por un amplio número de elementos, como puede ser el conjunto de los números naturales o por letras del abecedario. Estos conjuntos sirven de base para crear más conjuntos.
Para representar que un conjunto es universal se utiliza la vocal U mayúscula.
Ejemplo:
El conjunto formado por las letras del abecedario.
U = { letras del abecedario }
Gráficamente:
Del conjunto U se puede formar el conjunto V de vocales y conjunto C de consonantes.
El conjunto vacío es aquel que no tiene elemento alguno.
Ejemplos:
A = { }
El conjunto A no posee ningún elemento.
B = {números impares entre 5 y 7 }
No existe ningún número impar entre los números 5 y 7.
Gráficamente:
Generalmente el conjunto vacío se representa mediante un paréntesis { } (corchete sin elemento), o por el símbolo.
El conjunto unitario es aquel que posee solamente un elemento. Ejemplos:
1. El conjunto de números naturales mayores de 8 y menores de 10:
C = { 9 }
El único elemento es el número 9.
. Conjunto de satélites naturales de la Tierra
S = { Luna }
El conjunto está formado por un solo elemento, porque la Tierra solo posee un satélite natural, la Luna.
Conjunto finito
Un conjunto es finito, cuando posee un comienzo y un final, en otras palabras, es cuando los elementos del conjunto se pueden determinar o contar.
Un conjunto es finito, cuando posee un comienzo y un final, en otras palabras, es cuando los elementos del conjunto se pueden determinar o contar.
Ejemplos:
· Conjunto de números pares entre 10 y 40:
R = { 10,12,14,16,18,20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40 }
· Conjunto de las páginas de un libro:
T = { páginas de un libro }.
· Conjunto de vocales.
V = { a, e, o, i, u }
Conjunto infinito
El conjunto es infinito, cuando posee un inicio pero no tiene fin. Es decir, que la cantidad de elementos que conforman el conjunto no se puede determinar.
El conjunto es infinito, cuando posee un inicio pero no tiene fin. Es decir, que la cantidad de elementos que conforman el conjunto no se puede determinar.
Ejemplos:
· El conjunto de los números naturales:
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,...}
El conjunto de los números naturales es infinito, puesto que no es posible contar la totalidad de elementos (números) que conforman el conjunto.
· El conjunto de los peces en el mar:
P = { los peces en el mar }
http://charlesmatematic.blogspot.com.co/2013/02/clases-de-conjuntos.html
OPERACIONES
Unión de conjuntos
Podemos crear otro conjunto conformado con los elementos que pertenezcan a MM o a NN. A este nuevo conjunto le llamamos unión de MM y NN, y lo notamos de la siguiente manera:M∪NM∪N. En la imagen de abajo puedes observar el resultado de unir los conjuntos MM y NN.
Al elegir qué elementos estarán en la unión de nuestros conjuntos MM y NN, debes preguntarte cuáles están en el conjunto MM“o” en el conjunto NN. El resultado de la operación será el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal UU, que cumplan la condición de estar en uno o en otro. Tenemos en este caso: M∪N={a,c,b,g,e,1}M∪N={a,c,b,g,e,1}
Intersección de conjuntos
Sigamos tomando como ejemplo los conjuntos MM y NN definidos anteriormente. Podemos determinar un nuevo conjunto conformado por los elementos que nuestros conjuntos MMy NN tienen en común. A este nuevo conjunto le llamamos intersección de MM y NN y lo notamos de la siguiente manera: M∩NM∩N.
Para determinar que elementos pertenecen a la intersección de los conjuntos MM y NN te puedes preguntar qué elementos están en MM “y” en NN. Todos los elementos del conjunto UU que cumplan esta condición deberán estar en el conjunto M∩NM∩N. En la figura de la arriba podemos ver la intersección de nuestros conjuntos MM y NN, tenemos que M∩N={b}M∩N={b}.
Diferencia de conjuntos.
Además de la unión y la intersección podemos realizar la diferencia de conjuntos. En este caso se deben seleccionar los elementos de un conjunto que no estén en el otro. Por ejemplo, si realizas la operación MM menos NN, debes seleccionar los elementos de MM que no están en NN. Representamos la diferencia M menos N así: M \ NM \ N. Observa que en este caso M \ N={a,c}M \ N={a,c}.
Que el nombre esta operación no te alarme, también es muy sencilla. En esta ocasión se deben escoger los elementos de MM que no están en NN, y los elementos de NN que no están en MM. Puedes ver el resultado de ladiferencia simétrica entre MM y NN en la figura de la izquierda. Representamos la diferencia simétrica a través del símbolo ΔΔ. En el caso de nuestros conjuntos MM y NNtenemos: M Δ N={a,c,g,1,e}M Δ N={a,c,g,1,e}.
Complemento de un conjunto
La ultima operación que estudiaremos no es entre dos conjuntos. Decimos que el complemento de MM es el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal UU, que no pertenecen al conjunto MM. Es común usar los símbolos McMc, ¯¯¯¯MM¯ o M'M′ para representar el complemento del conjunto MM, nosotros usaremos el símbolo McMc. En nuestro caso tenemos Mc={j,f,g,1,e,i,h}Mc={j,f,g,1,e,i,h} y Nc={i,h,j,f,a,c}Nc={i,h,j,f,a,c}.
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